Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur by Jörg Bewersdorff

By Jörg Bewersdorff

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach quickly dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Programmierte Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie: Übungsprogramm für Mathematiker und Physiker ab 1. Semester

Die programmierten Aufgaben zur linearen Algebra und analytischen Geometrie sind als erganzendes Arbeitsmaterial fUr Studenten der ersten Semester gedacht. Sie sollen einerseits zur selbstandigen Bearbeitung von Aufgaben anregen und damit schnell zu einer Vertrautheit mit den Grundbegriffen und Methoden der linearen Algebra fOOren, sie sollen andererseits die Moglichkeit bieten, das Verstandnis dieser Begriffe und Methoden ohne fremde Hilfe zu iiberprufen.

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Bei einer Gleichung nten Grades ist aber spätestens nach der n-ten Lösung keine weitere Abspaltung mehr möglich. Daher kann, wie schon Descartes formulierte, eine Gleichung n-ten Grades höchstens n Lösungen haben. 3. Wenn die Zahl der Lösungen bei einer Gleichung n-ten Grades höchstens gleich n sein kann, dann stellt sich natürlich sofort die Frage, wie klein diese Anzahl unter Umständen sein kann. Dabei ist klarzustellen, dass damit nicht etwa die Anzahl der verschiedenen Lösungen gemeint ist, denn offensichtlich hat eine Gleichung wie zum Beispiel ~ = 0 nur eine einzige Lösung, nämlich O.

Und nun kommt schließlich, ähnlich wie beim entsprechenden Satz für reelle Polynome ungeraden Grades, das entscheidende Stetigkeitsargument: Zieht man den Kreis, auf dem sich z bewegt, ausgehend vom Radius R langsam auf den Nullpunkt zusammen, 0 zieht sicb die Bildkurve ausgebend von einer n-fachen Urnrundung des Nullpunktes auf den Punkt ao zusammen. Dabei muss der Nullpunkt irgendwann einmal getroffen werden. Daher besitzt das Polynomf(z) im Kreis mit Radius R mindestens eine - und damit sogar n - komplexe Nullstellen.

Die Notation einer Permutation aerfolgt am einfachsten mittels einer Aufzählung ihrer Bilder, das heißt den nach der Vertauschung erreichten Plätzen 0(1), 0(2), ... , o(n). Symbolisch notiert man dafür ( 1 2 a(l) a(2) ... n a(n) ) beziehungsweise-kUrzer (a(1) a(2) ... a(n»). In speziellen Fällen kann es durchaus angebracht sein, die allgemeine Notation durch eine plakativere zu ersetzen. Wie werden dies bei den so genannten zyklischen Permutationen, die alle Zahlen von 1 bis n in irgendeiner Reihenfolge reihum vertauschen, praktizieren und beipielsweise 1 ~ 2 ~ 3 ~ 4 ~ 1 statt (2 3 4 1) schreiben.

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