Algebra, 3. Auflage by Ernst Kunz

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Sei M die Menge aller Paare (r; s) mit r 2 R , s 2 N . Man de niert fur (r; s), (r0 ; s0 ) 2 M (4) (r; s) (r0 ; s0 ) , t29N t (s0 r sr0 ) = 0 Es ist leicht nachzuprufen, da hierdurch eine Aquivalenzrelation auf M gegeben wird. Die Aquivalenzklasse von (r; s) 2 M wird mit rs bezeichnet. Sie hei t der Bruch*) mit dem Zahler r und dem Nenner s . Es sei RN die Menge aller solchen Bruche rs . Aus (4) ergibt sich dann fur die Gleichheit von Bruchen r = r0 , 9 t (s0 r sr0 ) = 0 (5) s s0 t2N Insbesondere gilt r = rs0 fur r 2 R ; s0 2 N s ss0 s N (Erweiterung von Bruchen).

D. Korollar. a) Z X ; : : : ; Xn] ist ein faktorieller Ring. b) Fur jeden Korper K ist K X ; : : : ; Xn] faktoriell. V. Quotientenringe Die Bildung von Quotientenringen ist eine Verallgemeinerung der Konstruktion der rationalen aus den ganzen Zahlen. Es entstehen zahlreiche neue Ringe, unter denen auch viele faktoriell sind. Eine Teilmenge N eines Rings R hei t multiplikativ abgeschlossen, wenn gilt: Es ist 1 2 N und fur alle a; b 2 N ist auch a b 2 N . Beispiele multiplikativ abgeschlossener Teilmengen von R sind: a) Die Menge der Einheiten von R .

12). Beispiele: p a) Wurfelverdoppelung. Es ist 3 2 irrational und daher p3 p 3; wenn X 3 2 das Minimalpolynom von 3 2 uber Q ist Q ( 2) : Q ] = 2 sonst Im ersten Fall ist die Wurfelverdoppelung nicht moglich. In x 5 wird gezeigt, da der p zweite Fall nicht eintreten kann. ). ' i b) Dreiteilung des Winkels. Wir haben K0(e 3 ) : K0 ] f urK0 := Q (ei' ) zu ' bestimmen. Da ei 3 Nullstelle des Polynoms X 3 ei' 2 K0 X ] ist, kommen fur ' K0(ei 3 ) : K0 ] nur die Werte 1; 2 und 3 in Frage. In den beiden ersten Fallen ist die Konstruktion durchfuhrbar, im letzten nicht.

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